テニスや卓球で言うところのラケット、ピックルボールではパドルと呼びます
日本語では「櫂」ですね
パドルで検索するとカヌーや小舟の水をかく道具ばかりが出てきます
まだまだ日本では普及していないことがわかります（余談でした）

パドルのサイズ

パドルの大きさって規定があるのかと思って調べてみたら、日本のサイトでははっきりとわかりませんでした
で、アメリカのWikiで調べてみました
（グーグル先生に翻訳してもらったので、間違ってたらゴメンなさい）
図のように高さと幅の合計が61㎝以内ならOKで、かつ、高さが43㎝以内という事でした
つまり縦長でも、扁平でも、四角でも、台形でも、丸くても、その条件に合っていればいいのでしょう
中には手作りする人が出てくるかもしれませんね
ただ、おおよそ縦40㎝、横20㎝程度のものが一般的なのでしょう
Wikiによれば公式の試合では事前に承認されたメーカー品などのパドルしか使用できないと書いてありました
そりゃそうでしょうね、あまり奇抜なパドルを持ってくれば試合が始まる前から文句が出そうです

重さと厚さ
厚さと重さについては規定がないようなので、厚いパドルでも、重いパドルでも構わないのでしょう
厚さに関しては一般的には15㎜前後のようですが、テニスの厚ラケのように分厚いパドルがはやる可能性はあるかもしれませね
ただ、重さに関しては軽すぎても力が入らないでしょうし、重すぎても打ちにくいでしょうから、やはり適当な重さである200～300ｇが中心になるでしょう

材質
材質についてはいろいろあるようです
あまり化学？的な知識はないのですが、素人なりにまとめてみました
＜木材系＞
手に入りやすく、加工もしやすいので安価なものも多く、初心者が初めて手にするにはいいかもしれません
ただ、木の種類によっては重かったり、耐久性がなかったり、また、手に振動が伝わりやすくブレが生じる場合があり、中上級者になると使用しない方が多いように思います
＜人工樹脂系＞
いわゆるプラスチックやポリマー、ポリプロピレン（PP）等と言われる材質で、加工しやすく軽いのが特徴です
一般的には柔らかい材質というイメージですが、高密度化するなど硬く加工することもできます
＜炭素系＞
カーボンやグラファイト、グラスファイバー等と言われる素材で、軽さと硬さ、耐久性が高いのが特徴です
＜金属系＞
あまり見たことはありませんが、アルミニウムなど比較的軽い金属でパドルを作ることはできると思います
金属なので耐久性が高いと思われます

パドルの主な材質は以上のようなものですが、単一的に使用されることよりも、表面はカーボン、中の構造体（コア）はPPなど様々な材質の組み合わせでできていたり、カーボン樹脂など素材自体が組み合わさっていたりと、複合的に使用されることが多いようです
また、どの材質でも高価なものになればなるほど軽さ、硬さ、耐久性が高くなることは言うまでもありません

構造

パドルの構造は、木材のようにソリッド（中身が詰まっている・固形）なものとハニカム構造（ハチの巣のような六角形の集合体）のものがあるようです

炭素系や人工樹脂系の材質ではハニカム構造を取り軽量性と強度を両立させる傾向にあるように思います

グリップ
グリップサイズ（太さ＝円周の長さ）は

テニスと同じようにインチ表示で

4+1/8・4+2/8・4+3/4・4+4/8が多いようです
インチではわかりにくいので㎝に直してみると

4+1/8in＝約10.5㎝

4+2/8in＝約10.8㎝

4+3/4in＝約11.1㎝

4+4/8in＝約11.4㎝

わずか約3mm間隔です

硬式テニスの場合インパクトの瞬間の衝撃が非常に強いためグリップの太さがとても繊細な選択になってきますが、ピックルボールのパドルに関してはそこまで細かく気にすることなく細め、太めくらいのチョイスでもいいのではないかと思います（あくまで個人的な感想ですが）